题目：若函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) 在 \( x > 0 \) 的区间上连续，求 \( f(x) \) 的极值。
答案：首先，对函数 \( f(x) \) 求导，得 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^2} \)。
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \)。
接下来，通过二阶导数或者导数的符号变化判断 \( x = 1 \) 处的极值。由于 \( f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立，故 \( x = 1 \) 是 \( f(x) \) 的极小值点。
因此，\( f(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1 \)。
所以，函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \) 在 \( x = 1 \) 处取得极小值 \( 1 \)。
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