在备战考研的征途上，高数习题是不可或缺的磨砺工具。以下是一些精选的高数习题及详解，帮助考生巩固知识点，提升解题能力：
1. 极限求解：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解答：利用极限的基本性质，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
2. 导数计算：求函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在 $x=2$ 处的导数。
解答：$f'(x) = 3x^2 - 3$，所以 $f'(2) = 9$。
3. 不定积分：求不定积分 $\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx$。
解答：令 $u = x^3 + 1$，则 $du = 3x^2 dx$，所以 $\int \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C = \frac{1}{3} \ln |x^3 + 1| + C$。
4. 定积分：求定积分 $\int_0^1 x^2 dx$。
解答：$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 \big|_0^1 = \frac{1}{3}$。
5. 级数求和：求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。
解答：利用巴塞尔问题的结果，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。
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