2020年考研数二12题是一道综合性较强的题目，主要考察了极限、导数以及二重积分的知识点。下面我将详细讲解这道题目的解题思路和步骤。
首先，观察题目，发现题目给出了一个定积分的极限表达式，要求我们求出这个极限的值。解题的关键在于利用定积分的性质以及极限的运算规则。
解题步骤如下：
1. 根据题目条件，我们可以将原极限表达式分解为两部分：
$$\lim_{x\rightarrow 0} \left[ \frac{\sin x}{x} - \frac{\sin 2x}{2x} \right] \times \lim_{x\rightarrow 0} \int_{0}^{2x} e^{\frac{1}{t}} \, dt$$
2. 针对第一部分，由于 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，而 $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$，所以这部分极限的值为 $0$。
3. 针对第二部分，我们可以使用洛必达法则求解。首先对分子和分母同时求导，得到：
$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2e^{\frac{1}{2x}}}{-2e^{\frac{1}{2x}}}$$
4. 由于当 $x\rightarrow 0$ 时，$e^{\frac{1}{2x}}$ 的值趋向于无穷大，所以整个极限的值为 $0$。
5. 将两部分的结果相乘，得到最终答案为 $0$。
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