考研高数题目及讲解：
题目： 设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解答：
1. 求导数： 首先计算 \( f(x) \) 的一阶导数和二阶导数。
\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
\[ f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3} \]
2. 计算 \( x=0 \) 处的函数值及导数值：
\[ f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \]
\[ f'(0) = -\frac{2 \cdot 0}{(1+0^2)^2} = 0 \]
\[ f''(0) = \frac{2(1-3 \cdot 0^2)}{(1+0^2)^3} = 2 \]
3. 泰勒展开式： 根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) \]
代入已知的函数值和导数值：
\[ f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + o(x^2) \]
\[ f(x) = 1 + x^2 + o(x^2) \]
结论： 函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( 1, x^2 \)。
【考研刷题通】——考研路上的得力助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你高效备战，轻松上岸！快来体验吧！📚🎓📈【考研刷题通】