在考研数学的征途上，每一个难题都是对智慧的磨砺。以下是对一道典型考研数学题的详细解析：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。
解析：
1. 求导数：首先，我们需要求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。根据导数的基本公式，我们有：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 求临界点：接下来，我们令 \( f'(x) = 0 \) 来找出临界点：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
解这个一元二次方程，我们得到 \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)。
3. 检查端点值：由于我们需要在闭区间 \([0, 3]\) 上求最大值和最小值，我们还需要检查区间的端点值。计算 \( f(0) \) 和 \( f(3) \)：
\[ f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 0 \]
4. 比较值：现在，我们比较在临界点和端点处的函数值：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 = 4 \]
\[ f(3) = 0 \]
\[ f(0) = 0 \]
因此，函数 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值是 4，最小值是 0。
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