在2020年的考研数学中，中值定理的证明是一个重要的考点。以下是一个典型证明过程：
题目：证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在区间 \([0, 2]\) 上存在一点 \( \xi \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
证明：
1. 连续性检查：首先，我们检查函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([0, 2]\) 上是否连续。显然，\( f(x) \) 是一个多项式函数，在整个实数域上都是连续的，因此它在 \([0, 2]\) 上也是连续的。
2. 可导性检查：接着，我们检查函数 \( f(x) \) 在开区间 \((0, 2)\) 上是否可导。同样，由于 \( f(x) \) 是多项式函数，它在 \((0, 2)\) 上也是可导的。
3. 应用罗尔定理：由于 \( f(x) \) 在闭区间 \([0, 2]\) 上连续，在开区间 \((0, 2)\) 上可导，并且 \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \) 和 \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 = 2 \)，根据罗尔定理，存在至少一个 \( \xi \in (0, 2) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
4. 求导并解方程：现在我们对 \( f(x) \) 求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。将 \( f'(\xi) = 0 \) 代入，得到 \( 3\xi^2 - 3 = 0 \)，解得 \( \xi^2 = 1 \)，因此 \( \xi = 1 \) 或 \( \xi = -1 \)。由于 \( \xi \) 必须在区间 \((0, 2)\) 内，所以 \( \xi = 1 \)。
结论：我们证明了在区间 \([0, 2]\) 上存在一点 \( \xi = 1 \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
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