1. 题目一：已知函数 \( f(x) = e^x - x^2 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 上的最大值和最小值。
解答：首先求导 \( f'(x) = e^x - 2x \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得 \( x = \ln 2 \)。在区间 \([0, 1]\) 内，检查端点和临界点 \( x = \ln 2 \) 的函数值，得到 \( f(0) = 1 \)，\( f(\ln 2) = e^{\ln 2} - (\ln 2)^2 = 2 - (\ln 2)^2 \)，\( f(1) = e - 1 \)。比较这三个值，可得最大值为 \( e \)，最小值为 \( 2 - (\ln 2)^2 \)。
2. 题目二：设 \( A \) 和 \( B \) 是 \( n \times n \) 的矩阵，且 \( AB = BA \)。证明：若 \( A \) 可逆，则 \( B \) 也必可逆。
解答：因为 \( A \) 可逆，存在 \( A^{-1} \)。由 \( AB = BA \) 可得 \( B = A^{-1}BA \)。定义 \( C = A^{-1}B \)，则 \( C = A^{-1}BA \)。由于 \( A \) 和 \( B \) 相似，\( C \) 也是可逆的。因此，\( B = CA \) 也是可逆的。
3. 题目三：已知 \( f(x) \) 在区间 \([0, \infty)\) 上连续，且 \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)，求 \( \lim_{x \to \infty} f(x) \)。
解答：由 \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 可知 \( f(x) \) 是一个增函数。考虑 \( f(x) \) 的不定积分，得 \( f(x) = \arctan x + C \)。当 \( x \to \infty \) 时，\( \arctan x \to \frac{\pi}{2} \)，因此 \( \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{\pi}{2} + C \)。
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