2016年考研数学二第19题：定积分反常计算技巧与常见误区解析

介绍

2016年考研数学二第19题是一道关于定积分反常计算的题目，考察了考生对反常积分收敛性判断、计算方法以及常见错误的识别能力。这道题综合性较强，涉及比较判别法、分部积分法等多个知识点，很多考生在解题过程中容易陷入误区。本文将结合题目特点，分析解题思路，并针对考生易错点进行详细讲解，帮助大家掌握定积分反常计算的核心技巧。

常见问题解答与详细解答

问题1：如何判断反常积分的收敛性？

答案：判断反常积分收敛性是解决这类问题的关键。对于2016年考研数学二第19题这类含有参数的反常积分，通常采用以下方法：

1. 分解积分区间：将积分区间拆分为若干子区间，每个子区间上反常积分只在有限点处发散，如题目中的积分可能在x=0或x=1处发散。

2. 比较判别法：对于形如∫f(x)dx的反常积分，若f(x)在无穷远处或有限点处趋于0，可将其与已知收敛性的简单函数比较。例如，若f(x)≤g(x)且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx也收敛。

3. 极限比较法：当f(x)在无穷远处趋于0时，计算lim(x→∞)f(x)/g(x)，若极限为非零有限值，则f(x)与g(x)同敛散。

4. 绝对收敛判别：若∫f(x)dx收敛，则∫f(x)dx绝对收敛。本题中需要判断原积分是否绝对收敛。

问题2：计算反常积分时常见的错误有哪些？

答案：在计算反常积分时，考生常犯以下错误：

1. 忽略反常点处理：如本题中，若直接计算∫(xα)/(x+1)dx而不讨论α值，可能导致错误结论。特别是当α=-1时，需要特殊处理。

2. 分部积分不当：在用分部积分时，若选择u和dv不当，可能使积分更复杂。如本题若选择u=1/(x+1)，计算将非常困难。

3. 收敛性判断错误：如误认为所有α值下积分都收敛，或忽略绝对收敛与条件收敛的区别。本题中α>1时绝对收敛，α≤1时条件收敛。

4. 极限计算失误：在比较判别法中，若极限计算错误，会导致收敛性判断失误。如本题需计算lim(x→+∞)(xα)/(xα+x+1)。

问题3：本题α=1时的计算技巧是什么？

答案：当α=1时，原积分变为∫(1/(xlnx))/(x+1)dx，此时直接计算非常困难。正确处理方法如下：

1. 变量替换：令t=lnx，则x=et，dx=etdt。积分变为∫(1/t)/(et+1)etdt = ∫(1/(t(et+1)))dt。

2. 分解积分：将1/(t(et+1))分解为1/(t(et+1)) = 1/(tet) 1/((et+1)et)。

3. 计算各部分：第一部分∫(1/(tet))dt可视为ln(t)e(-t)形式，第二部分可用部分分式分解后计算。

4. 极限分析：注意在t→+∞时各项的极限行为，确保计算过程严谨。

本题最终结果为ln(2)-ln(1+e)-[ln(et)+ln(1+e(-t))]_(0+∞)，其中需特别处理边界值。这类问题需要考生熟练掌握积分技巧和极限计算方法。