考研数学每日一练Day180精选问题深度解析
在考研数学的备考过程中，每日一练是检验学习效果、巩固知识点的关键环节。Day180作为系列中的重要一环，涵盖了高等数学、线性代数和概率论等多个模块的核心考点。很多考生在练习过程中会遇到各种疑难问题，尤其是计算量大、逻辑性强的题目。为了帮助大家更好地理解和掌握，我们整理了三道典型问题并提供了详尽的解答思路。这些问题不仅反映了考研数学的常见难点，还涉及了部分易错点，通过深入剖析，相信能让大家对知识点的应用更加灵活。
问题一：关于定积分的应用题
问题：计算由曲线y=lnx与y轴及直线x=e所围成的平面图形的面积。
解答：这道题属于定积分的几何应用，具体来说是求平面图形的面积。我们需要明确积分的上下限。根据题意，曲线y=lnx与y轴及直线x=e所围成的平面图形，其x的取值范围是从0到e。因此，积分的上下限就是0和e。
接下来，我们需要确定被积函数。由于我们要求的是曲线y=lnx与x轴之间的面积，所以被积函数就是y=lnx。
因此，所求的面积S可以表示为：
S = ∫0e lnx dx
为了计算这个积分，我们需要使用分部积分法。根据分部积分法的公式，我们有：
∫ u dv = uv ∫ v du
在这里，我们可以令u=lnx，dv=dx。那么，du=1/x dx，v=x。代入公式，我们得到：
∫ lnx dx = xlnx ∫ x(1/x) dx = xlnx ∫ dx = xlnx x + C
现在，我们可以计算定积分了：
S = [xlnx x]0e = (eln(e) e) (0ln(0) 0) = (e e) (0 0) = 0
因此，由曲线y=lnx与y轴及直线x=e所围成的平面图形的面积为0。
问题二：关于微分方程的求解
问题：求解微分方程y'' 4y = 0的通解。
解答：这个问题是求解一个二阶齐次线性微分方程。我们需要找到这个微分方程的特征方程。对于形如y'' + ay' + by = 0的二阶齐次线性微分方程，其特征方程为：
r2 + ar + b = 0
在这个问题中，a=0，b=-4，所以特征方程为：
r2 4 = 0
解这个特征方程，我们得到两个特征根：
r1 = 2，r2 = -2
由于特征根是两个不相同的实数，所以微分方程的通解可以表示为：
y = C1e(r1x) + C2e(r2x)
代入特征根的值，我们得到：
y = C1e(2x) + C2e(-2x)
其中，C1和C2是任意常数。这就是微分方程y'' 4y = 0的通解。
问题三：关于概率论中的条件概率
问题：已知事件A和事件B的概率分别为P(A)=0.6，P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，求P(AB)。
解答：这个问题是求解条件概率。我们需要使用概率论中的基本公式来找到P(A∩B)。根据概率的加法公式，我们有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)
代入已知的概率值，我们得到：
0.8 = 0.6 + 0.7 P(A∩B)
解这个方程，我们得到：
P(A∩B) = 0.6 + 0.7 0.8 = 0.5
现在，我们可以使用条件概率的定义来求解P(AB)。条件概率的定义是：
P(AB) = P(A∩B) / P(B)
代入已知的概率值，我们得到：
P(AB) = 0.5 / 0.7 ≈ 0.7143
因此，P(AB)约等于0.7143。