考研数学一真题答案如下：
1. 真题一：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 的极值。
答案：极小值点为 \( x = -1 \)，极大值点为 \( x = 2 \)。
2. 真题二：已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2} \)。
3. 真题三：设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，证明 \( A \) 的特征值全为 0。
答案：由特征值的定义，\( \lambda \) 是 \( A \) 的特征值当且仅当存在非零向量 \( \mathbf{v} \) 使得 \( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \)。由 \( A^2 = 0 \)，得 \( A^2\mathbf{v} = 0 \)，即 \( \lambda^2 \mathbf{v} = 0 \)。由于 \( \mathbf{v} \) 非零，故 \( \lambda^2 = 0 \)，即 \( \lambda = 0 \)。
4. 真题四：设 \( f(x) \) 在 \( [0, 1] \) 上连续，在 \( (0, 1) \) 内可导，且 \( f(0) = 0, f(1) = 1 \)，证明存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( f'(\xi) = 2f(\xi) \)。
答案：构造函数 \( F(x) = e^{-x}f(x) \)，则 \( F'(x) = e^{-x}[f'(x) - f(x)] \)。由罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( F'(\xi) = 0 \)，即 \( f'(\xi) = 2f(\xi) \)。
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